Dans ce chapitre, nous allons travailler exclusivement avec des nombres entiers naturels (les nombres positifs entiers : 0, 1, 2, 3…).
1. Multiples et Diviseurs
Définition : Soit \( a \) et \(b\) deux nombres entiers (avec \(b \neq 0\)). On dit que \(b\) est un diviseur de \(a\) s’il existe un nombre entier \(k\) tel que :
$$a = b \times k$$
Le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est alors égal à zéro.
Exemple :
- \(35 = 7 \times 5\)
- Donc, \(7\) et \(5\) sont des diviseurs de \(35\).
- On peut aussi dire que \(35\) est un multiple de \(7\) et de \(5\).
2. Les Nombres Premiers
Définition : Un nombre est dit premier s’il possède exactement deux diviseurs distincts : $1$ et lui-même.
À retenir par cœur : La liste des premiers nombres premiers est fondamentale pour gagner du temps au brevet : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… (Attention : $1$ n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur : lui-même).
3. Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème : Tout nombre entier supérieur ou égal à $2$ peut se décomposer en un produit de nombres premiers. Cette décomposition est unique.
Exemple pratique : Décomposons le nombre $84$.
- $84$ est divisible par $2$ : $84 = 2 \times 42$
- $42$ est divisible par $2$ : $42 = 2 \times 21$
- $21$ est divisible par $3$ : $21 = 3 \times 7$
- $7$ est un nombre premier.
La décomposition finale s’écrit de manière élégante avec des puissances :
$$84 = 2^2 \times 3 \times 7$$
4. Application : Rendre une fraction irréductible Pour simplifier une fraction au maximum, on décompose son numérateur et son dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on barre les facteurs communs.
Exemple : Simplifions la fraction $\frac{84}{126}$. Nous savons que $84 = 2^2 \times 3 \times 7$. Si l’on décompose $126$ , on trouve $126 = 2 \times 3^2 \times 7$.
On écrit alors le calcul :
$$\frac{84}{126} = \frac{2 \times 2 \times 3 \times 7}{2 \times 3 \times 3 \times 7}$$
En simplifiant les facteurs communs en haut et en bas (un $2$ , un $3$ , et le $7$ ), il nous reste :
$$\frac{84}{126} = \frac{2}{3}$$
La fraction est maintenant irréductible.